Descoberta a conexão entre matemática e realidade?

A matemática está cheia de sistemas numéricos estranhos que a maioria das pessoas nunca ouviu falar e teria problemas para conceituar. Mas números racionais são familiares. Eles são os números de contagem e as frações – todos os números que você conhece desde o ensino fundamental. O problema é que, na matemática, as coisas mais simples são geralmente as mais difíceis de entender. Elas são simples como uma parede invisível é simples, ou seja, sem relevos ou bordas ou propriedades óbvias nas quais sua mente possa agarrar-se.

Considere o exemplo de Minhyong Kim, matemático da Universidade de Oxford, que está especialmente interessado em descobrir quais números racionais resolvem determinados tipos de equações. É um problema que provocou os teóricos dos números por milênios, e eles fizeram um progresso mínimo para resolvê-lo. Quando uma questão foi estudada por tanto tempo sem resolução, é razoável concluir que a possível solução será descoberta por alguém que apresente uma ideia drasticamente nova. Foi exatamente o que Kim fez.

“Não há muitas técnicas à disposição, apesar de estarmos trabalhando nisso por três mil anos. Então, sempre que alguém apresenta uma maneira autenticamente nova de fazer as coisas, é um grande negócio, e Minhyong fez isso”, disse Jordan Ellenberg, matemático da Universidade de Wisconsin, em Madison.

Na última década, Kim descreveu uma maneira muito nova de procurar padrões no mundo aparentemente sem padrão de números racionais. Ele descreveu esse método em documentos e conferências e transmitiu-o para os estudantes que agora realizam o trabalho por conta própria. No entanto, ele sempre reteve algo. Ele tem uma visão que anima suas ideias, uma baseada não no puro mundo dos números, mas em conceitos emprestados da física. Para Kim, soluções racionais são de alguma forma como a trajetória da luz.

Um objeto matemático chamado de “toro de três buracos” está no quadro branco de Kim na Universidade de Oxford.

Se a conexão parece fantástica, é porque é, até mesmo para os matemáticos. E por esse motivo, Kim guardou para si mesmo. “Eu estava escondendo isso porque por muitos anos fiquei um pouco envergonhado com a conexão física”, disse ele. “Os teóricos dos números são um grupo de pessoas muito intransigentes e as influências da física às vezes os tornam mais céticos em relação à matemática”.

Mas agora Kim diz que está pronto para tornar sua visão conhecida. “A mudança é, suponho, simplesmente um sintoma de envelhecer!” escreveu Kim, 53, em um dos primeiros e-mails que trocamos para essa história.

Recentemente, ele organizou uma conferência que reuniu teóricos de números e teóricos de cordas. Ele também elaborou artigos que começam a descrever sua inspiração para uma comunidade matemática que não está acostumada a pensar em números por meio de analogia direta com o mundo físico.

No entanto, uma pedra de tropeço permanece – uma última peça da analogia matemática/física que Kim ainda tem que resolver. Ele espera que, ao convidar os outros para sua visão, especialmente os físicos, ele tenha a ajuda que precisa para completá-lo.

O antigo desafio

Soluções racionais para equações exercem uma forte influência sobre a mente humana. Elas são tão satisfatórias como as peças do quebra-cabeça se encaixando perfeitamente no lugar. Por essa razão, são o assunto de muitas das conjecturas mais famosas da matemática.

Os números racionais incluem os números inteiros e qualquer número que possa ser expresso como uma proporção de dois inteiros, como 1, -4 e 99/100. Os matemáticos estão particularmente interessados ​​em números racionais que resolvem o que chamamos de “equações diofantinas”, equações polinomiais com coeficientes inteiros, como x² + y² = 1. Essas equações tem seu nome em homenagem a Diofante, que as estudou em Alexandria no terceiro século d.C.

As soluções racionais são difíceis de encontrar de qualquer maneira, porque não seguem nenhum padrão geométrico. Pense nesta equação:

x² + y² = 1

As soluções de números reais para essa equação formam um círculo. O problema é que se você tirar todos os pontos desse círculo que não podem ser expressos como uma fração, você fica com todas as soluções racionais e elas sozinhas não revelam a forma de um círculo. As soluções racionais parecem estar espalhadas aleatoriamente ao redor da circunferência do círculo.

“A condição para um ponto ter coordenadas racionais não é uma condição geométrica. Você não pode escrever uma equação que os pontos racionais precisam satisfazer”, disse Kim.

Geralmente, é fácil encontrar uma única solução racional, ou até mesmo muitas delas. Mas os matemáticos, que não gostam de pontas soltas, estão mais interessados ​​em identificar todas as soluções racionais. Isso é muito mais difícil. É tão difícil, na verdade, que provar até mesmo a mais simples declaração sobre o número de soluções racionais é o suficiente para torná-lo um luminar matemático. Em 1986, Gerd Faltings ganhou a Medalha Fields, a maior honra da matemática, principalmente por resolver um problema chamado de conjectura de Mordell e provar que certas classes de equações diofantinas têm apenas finitas soluções racionais (ao invés de infinitamente numerosas).

A prova de Faltings foi um resultado marcante na teoria dos números. Foi também o que os matemáticos chamam de “prova ineficaz”, o que significa que não contava realmente o número de soluções racionais, muito menos as identificava. Desde então, os matemáticos têm procurado uma maneira de dar os próximos passos. Os pontos racionais parecem pontos aleatórios no gráfico comum de uma equação. Os matemáticos esperam que, se mudarem o cenário em que pensam sobre o problema, esses pontos começarão a parecer em uma disposição que possam descrever de maneira mais precisa. O problema é que a terra conhecida da matemática não fornece tal cenário.

“A sensação geral é que só uma ideia inovadora poderia descobrir uma forma de obtermos padrões geométricos a partir de pontos representativos de números racionais”, disse Ellenberg.

Kim em seu escritório.

Atualmente, existem duas propostas principais para o que essa nova ideia poderia ser. Uma delas vem do matemático japonês Shinichi Mochizuki, que em 2012 postou centenas de páginas da elaborada e nova matemática em seu site na Universidade de Kyoto. Cinco anos depois, esse trabalho permanece em grande parte inescrutável. A outra nova ideia vem de Kim, que tentou pensar sobre números racionais em um cenário numérico expandido onde padrões ocultos entre eles começam a aparecer.

Uma solução de simetria

Os matemáticos costumam dizer que quanto mais simétrico é um objeto, mais fácil é estudá-lo. Dado isso, eles gostariam de situar o estudo das equações diofantinas em um cenário com mais simetria do que aquele em que o problema ocorre naturalmente. Se conseguissem fazer isso, poderiam aproveitar as simetrias recentemente relevantes para rastrear os pontos racionais que estão procurando.

Para ver como a simetria ajuda um matemático a lidar com um problema, imagine um círculo. Talvez seu objetivo seja identificar todos os pontos desse círculo. A simetria é de grande ajuda porque cria um mapa que permite navegar de pontos que você conhece para pontos que você ainda precisa descobrir.

Imagine que você encontrou todos os pontos racionais na metade sul do círculo. Como o círculo tem simetria reflexiva, você pode virar esses pontos sobre o equador (mudando os sinais de todas as coordenadas y) e, de repente, você também tem todos os pontos da metade norte. Na verdade, um círculo tem uma simetria tão rica que sabendo a localização de um único ponto, combinado com o conhecimento das simetrias do círculo, é tudo o que você precisa para encontrar todos os outros pontos, basta aplicar as infinitas simetrias rotacionais do círculo a partir do ponto original.

No entanto, se o objeto geométrico com o qual você está trabalhando for altamente irregular, como um caminho errante aleatório, você terá que trabalhar duro para identificar cada ponto individualmente – não há relações de simetria que permitam mapear pontos conhecidos para pontos desconhecidos.

Conjuntos de números podem ter simetria também, e quanto mais simetria um conjunto tiver, mais fácil será entendê-lo, pois você pode aplicar relações de simetria para descobrir valores desconhecidos desse conjunto. Os números que têm tipos particulares de relações de simetria formam um “grupo”, e os matemáticos podem usar as propriedades de um grupo para entender todos os números que esse tipo especial de conjunto contém.

Porém, como vimos, o conjunto de soluções racionais para uma equação não tem simetria. Portanto não forma um grupo. E isso encarrega aos matemáticos da tarefa impossível de tentar descobrir todas as soluções cada uma por vez.

A partir dos anos 1940, os matemáticos começaram a explorar formas de situar as equações diofantinas em cenários com mais simetria. O matemático Claude Chabauty descobriu que, dentro de um espaço geométrico maior que ele construiu (usando um universo expandido de números chamados de números p-ádicos), os números racionais formam seu próprio subespaço simétrico. Ele então pegou este subespaço e o combinou com o gráfico de uma equação diofantina. Os pontos em que os dois se cruzam revelam soluções racionais para a equação.

Nos anos 80, o matemático Robert Coleman refinou o trabalho de Chabauty. Por algumas décadas depois disso, a abordagem Coleman-Chabauty foi a melhor ferramenta que os matemáticos tinham para encontrar soluções racionais para as equações diofantinas. Essa ferramenta só funciona, porém, quando o gráfico da equação está em uma proporção específica em relação ao tamanho do espaço maior. Quando a proporção está desativada, torna-se difícil identificar os pontos exatos onde a curva da equação cruza os números racionais.

“Se você tem uma curva dentro de um espaço ambiente e há muitos pontos racionais, então os pontos racionais são um tipo de cluster e você tem dificuldade em distinguir quais estão na curva”, disse Kiran Kedlaya, matemático da Universidade da Califórnia. San Diego.

E foi aí que Kim entrou. Para estender o trabalho de Chabauty, ele queria encontrar um espaço ainda maior para pensar nas equações diofantinas – um espaço onde os pontos racionais estão mais espalhados, permitindo que ele estude pontos de interseção para muitos mais tipos de Equações diofantinas.

Espaços de Espaços

Se você está procurando por um espaço maior, junto com pistas sobre como usar a simetria para navegar, a física é um bom lugar para começar.

De um modo geral, um “espaço”, no sentido matemático, é qualquer conjunto de pontos que possui estrutura geométrica ou topológica. Mil pontos espalhados, querendo ou não, não formam um espaço – não há estrutura que os una. Mas uma esfera, que é apenas um arranjo de pontos particularmente coerente, é um espaço. Assim é um toro, ou o plano bidimensional, ou o espaço-tempo quadridimensional em que vivemos.

Além desses espaços, existem espaços ainda mais exóticos, que você pode imaginar como “espaços de espaços”. Para dar um exemplo muito simples, imagine que você tenha um triângulo – isso é um espaço. Agora imagine o espaço de todos os triângulos possíveis. Cada ponto neste espaço maior representa um triângulo particular, com as coordenadas do ponto dado pelos ângulos dos triângulos que ele representa.

Esse tipo de ideia é frequentemente útil na física. No âmbito da relatividade geral, o espaço e o tempo estão em constante evolução, e os físicos pensam em cada configuração espaço-temporal como um ponto em um espaço de todas as configurações espaço-temporais. Espaços de espaços também surgem em uma área da física chamada Teoria de Gauge, que tem a ver com campos que os físicos cobrem no espaço físico. Esses campos descrevem como forças como o eletromagnetismo e a gravidade mudam à medida que você se move pelo espaço. Você pode imaginar que há uma configuração ligeiramente diferente desses campos em todos os pontos no espaço – e que todas essas configurações diferentes juntas formam pontos em um “espaço de todos os campos” de maior dimensão.

Este espaço de campos da física é um análogo próximo ao que Kim está propondo na teoria dos números. Para entender por que, considere um raio de luz. Os físicos imaginam a luz se movendo através do espaço de dimensões mais altas dos campos. Neste espaço, a luz seguirá o caminho que adere ao “princípio da menor ação” – isto é, o caminho que minimiza a quantidade de tempo necessária para ir de A a B. O princípio explica fenômenos como a refração, ou seja, por que a luz muda de direção quando passa de um material para outro – o caminho foi alterado pois o novo caminho é aquele que, no segundo material, minimiza o tempo gasto.

Esses espaços maiores de espaços que surgem na física apresentam simetrias adicionais que não estão presentes em nenhum dos espaços que eles representam. Essas simetrias chamam a atenção para pontos específicos, enfatizando, por exemplo, o caminho para minimizar o tempo. Construídos de outra maneira em outro contexto, esses mesmos tipos de simetria podem enfatizar outros tipos de pontos – como os pontos correspondentes a soluções racionais para equações.

Conectando Simetria à Física

A teoria dos números não tem partículas para rastrear, mas tem algo como o espaço-tempo, e também oferece uma maneira de desenhar caminhos e construir um espaço de todos os caminhos possíveis. A partir dessa correspondência básica, Kim está elaborando um esquema no qual “o problema de encontrar a trajetória da luz e encontrar soluções racionais para as equações diofantinas são duas facetas do mesmo problema”, como ele explicou semana passada em uma conferência sobre física matemática em Heidelberg, Alemanha.

As soluções para equações diofantinas formam espaços – estas são as curvas definidas pelas equações. Essas curvas podem ser unidimensionais, como o círculo, ou podem ser de maior dimensão. Por exemplo, se você plotar soluções (complexas) para a equação diofantina x⁴ + y⁴ = 1, você obtém o toro de três furos. Os pontos racionais neste toro carecem de estrutura geométrica – é isso que os torna difíceis de encontrar – mas eles podem ser feitos para corresponder a pontos em um espaço de dimensões mais altas de espaços que têm estrutura.

Kim cria esse espaço de espaços de dimensões mais elevadas pensando em maneiras pelas quais você pode desenhar loops no toro (ou qualquer espaço que a equação defina). O procedimento de desenho de loop é o seguinte. Primeiro, escolha um ponto base e desenhe um loop a partir desse ponto para qualquer outro ponto e vice-versa. Agora repita esse processo, desenhando caminhos que conectam seu ponto base com todos os outros pontos do toróide. Você vai acabar com um matagal de todos os loops possíveis que começam e terminam no ponto base. Esta coleção de loops é um objeto centralmente importante em matemática – é chamado de grupo fundamental de um espaço.

Os caminhos conectam um ponto inicial a um ponto racional. Esse é o diagrama de um toro de três buracos, com dois pontos de sua superfície. Um dos pontos é chamado de “ponto inicial” e o outro de “ponto racional”. Vários caminhos podem traçar a conexão de um ponto inicial para um ponto racional.

Você pode usar qualquer ponto no toro como seu ponto de referência. Cada ponto terá um emaranhado único de caminhos que emanam dele. Cada uma dessas coleções de caminhos pode então ser representada como um ponto em um espaço de dimensões mais altas de todas as coleções de caminhos (como o espaço de todos os triângulos possíveis). Esse espaço de espaços é geometricamente muito parecido com o “espaço dos espaços” que os físicos constroem na teoria de gauge: a maneira como as coleções de caminhos mudam à medida que você se move de um ponto para outro no toro se assemelha à maneira como os campos mudam de um ponto para outro no espaço real. Este espaço de espaços apresenta simetrias adicionais não presentes no próprio toro. E enquanto não há simetria entre os pontos racionais no toro, se você entrar no espaço de todas as coleções de caminhos, você pode encontrar simetrias entre os pontos associados aos pontos racionais. Você ganha simetrias que não eram visíveis antes.

“Uma frase que eu uso às vezes é que existe uma espécie de ‘simetria aritmética oculta’ codificada nesses caminhos, que é altamente análoga às simetrias internas da teoria do medidor”, disse Kim.

Assim como Chabauty fez, Kim encontra soluções racionais pensando em pontos de interseção neste espaço maior que ele construiu. Ele usa simetrias desse espaço para se concentrar nos pontos de interseção. Sua esperança é desenvolver uma equação que detecte exatamente esses pontos.

No cenário da física, você pode imaginar todos os caminhos possíveis que um raio de luz pode seguir. Este é o seu “espaço de todos os caminhos”. Os pontos nesse espaço que interessam aos físicos são os pontos correspondentes aos caminhos que podem minimizar o tempo. Kim acredita que os pontos correspondentes aos emaranhados de caminhos que emanam de pontos racionais têm algo da mesma qualidade – isto é, os pontos minimizam alguma propriedade que surge quando você começa a pensar sobre a forma geométrica das equações diofantinas. Ele só ainda não descobriu o que essa propriedade poderia ser.

“O que eu comecei a tentar encontrar” foi um princípio de ação mínima para o cenário matemático, ele escreveu em um e-mail. “Eu ainda não tenho isso. Mas estou muito confiante de que está lá”.

Um futuro incerto

Nos últimos meses, descrevi a visão inspirada na física de Kim para vários matemáticos, todos admiradores das contribuições de Kim à teoria dos números. Quando apresentados a esse trabalho, no entanto, eles não sabiam o que fazer com ele.

“Como um teórico de números representativos, se você me mostrasse todas as coisas legais que Minhyong tem feito e me perguntasse se isso eram inspirados no mundo físico, eu responderia: De que diabos você está falando?“, disse Ellenberg.

Até agora, Kim não mencionou a física em seus trabalhos. Em vez disso, ele escreveu sobre objetos chamados variedades Selmer e considerou as relações entre as variedades Selmer no espaço de todas as variedades Selmer. Estes são termos reconhecíveis para os teóricos dos números. Mas, para Kim, eles sempre foram outro nome para certos tipos de objetos na física.

“Deveria ser possível usar ideias de físicos para resolver problemas na teoria dos números, mas não pensamos com cuidado o suficiente sobre como configurar tal estrutura”, disse Kim. “Estamos em um ponto em que nossa compreensão da física é madura o suficiente, e há teóricos de números suficientes interessados ​​em fazer um esforço”.

O principal obstáculo ao desenvolvimento do método de Kim está na busca de algum tipo de ação a ser minimizada no espaço de todos os emaranhados de loops. Esse tipo de perspectiva surge naturalmente no mundo físico, mas não faz qualquer sentido óbvio na aritmética. Até os matemáticos que seguem o trabalho de Kim se perguntam se ele o encontrará.

“Eu acho que [o programa de Kim] vai fazer muitas coisas boas para nós. Eu não acho que vamos ter um entendimento tão afiado quanto Minhyong quer que pontos racionais sejam soluções honestamente clássicas para algum tipo de teoria de gauge”, disse Arnav Tripathy, professor de física matemática da Universidade de Harvard.

Hoje, a linguagem da física permanece quase inteiramente fora da prática da teoria dos números. Kim acha que isso quase certamente vai mudar. Há quarenta anos, a física e o estudo da geometria e topologia tinham pouco a ver um com o outro. Então, na década de 1980, um punhado de matemáticos e físicos, todos figuras imponentes agora, encontraram maneiras exatas de usar a física para estudar as propriedades das formas. O campo nunca olhou para trás.

“É quase impossível se interessar por geometria e topologia hoje em dia sem saber algo sobre [física]. Tenho certeza de que isso acontecerá com a teoria dos números” nos próximos 15 anos, disse Kim. “As conexões são tão naturais”.

Tradução do texto Secret Link Uncovered Between Pure Math and Physics publicado originalmente na Quanta magazine.